Существует несколько способов представления разбиения, и упомянутый выше называется канонической лозой (искренне прошу прощения, но устоявшегося перевода «canonical vine» в математическом контексте я не наш
Таким образом, мы видим, что все элементы из первого уравнения могут быть представлены в виде произведения парных копул и маржинальной плотности.
и совместив с предыдущей формулой, мы получаем:
Можно расширить этот пример до трехмерного случая:
И совместив это с самой первой формулой, мы получаем:
Для двумерного случая это будет выглядеть следующим образом:
что в свою очередь можно выразить следующим образом:
Так же из определения копулы, мы знаем, что:
небольшое доказательствоДля начала напомним, что плотность распределения нескольких величин можно выразить следующим образом:
Как уже упоминалось, многие копулы могут отражать зависимость не только двух, но сразу нескольких величин. Это, конечно, хорошо, но стандартные копулы подразумевают некоторую симметричность, то есть все попарные зависимости будут иметь одинаковый паттерн. Согласитесь, это не всегда является правдой. Для преодоления этой проблемы был предложен интересный и вполне очевидный (сколько мучений скрыто за этим словом в математическом анализе) способ мы разбиваем совместную копулу на набор двумерных копул. Мы знаем, что для n переменных у нас будет попарных взаимосвязей. То есть нам придется определить именно столько попарных копул. Покажем, что совместную плотность распределения 4 величин можно выразить следующим образом:
Опять немного теории
В предыдущей я рассказал теоретическое обоснование копул. Так как сам был студентом, знаю, что лучшим объяснением теоретического аппарата может служить пример его практического применения. Поэтому в этой статье попробую показать, как копулы используются для моделирования взаимозависимостей нескольких случайных величин.
Пример практического применения копул
14 августа 2012 в 13:33
Пример практического применения копул / Хабрахабр
Комментариев нет:
Отправить комментарий